Le 06/07/2007, Jbc avait écrit ...
C'est un condamné à qui on laisse une chance de s'en sortir (situation classique)
On le met dans une pièce avec un récipient transparent contenant 500 boules blanches, 500 noires, et 2 boites vides. On lui dit de répartir les boules dans chaque boîte comme il le souhaite (chaque boîte devra toutefois contenir au moins une boule). Puis un bourreau viendra, choisira au hasard une boite et tirera au hasard une boule dans la boîte choisie.
[*]Si la boule est blanche, le condamné sera libéré
[*]Si la boule est noire, il sera enfermé à vie
[*]Sinon (autrement dit si on se rend compte que le prisonnier a triché ou essayé de contourné les règles, il sera pendu.
Question: Comment le prisonnier doit-il répartir les boules pour maximiser ses chances? Probabilité de s'en sortir dans ce cas-là?
Soient les boîtes 1 et 2. Soit k le nombre de boules blanches dans la boîte 1 et x le nombre de boules noires dans cette même boîte. Le nombre de boules blanches dans la boîte 2 est donc de 500-k et celui de boules noires est de 500-x. La probabilité de tirer une boule blanche (et donc d'être libéré) est de:
P=0.5*[k/(k+x)]+0.5*[(500-k)/(500-k+500-x)]
P=0.5*[k/(k+x)+(500-k)/(1000-k-x)]
Le but est de trouver la valeur maximale de P. On pose Pk(x)=0.5*[k/(k+x)+(500-k)/(1000-k-x)]
Faisons d'abord le cas particuliers de k=0:
Po(x)=0.5*[500/(1000-x)]
-> Po(x) atteint sa plus grande valeur pour x le plus grand possible. Cette valeur de x est 500. Pour x=500, Po(500)=0.5
Etudions le cas pour k appartenant à l'intervalle [1;250]:
Si on fait la dérivée de P sur l'intervalle [0;500], on voit que P est décroisssante puis croissante et on remarque alors que P atteint son maximum en x=0.
P1(0)=749/999, ce qui est approximativement égal à 0.749749 ( d'ailleurs supérieur à Po(500))
P2(0)=0.749498
P3(0)=0.749247
...
Les Pk(0) diminuent, plus k augmente. La valeur maximale de P est donc obtenue pour k=1.
Pour k appartenant à [250;500], on procède par symétrie et on trouve que P atteint sa valeur maximale pour k=499.
D'où k=1 et x=0. La boîte 1 doit contenir 1 boule blanche et 0 boule noire. La boîte 2 a alors 499 boules blanches et 500 boules noires. Et inversement.