Le 07/07/2007, smc avait écrit ...
Tu n'as rien trouvé du tout.
Je ne sais pas si ton résultat est juste, mais en tout cas ta démonstration est totalement fausse.
Ca me semble bien sévère, même s'il est vrai qu'une erreur s'y est glissée ...
Le résultat est juste, et la démo tient bien, au moins pour l'idée générale.
Honnêtement, un petit graphique m'aurait amplement suffi (pour ne pas trop décourager les "jeunes consciences présentes sur ce forum"... ne vas pas nous dire qu'on a parlé QUE de maths jb80!), à la limite une simple justification intuitive qu'on ne peut pas faire mieux, du genre "On a plus de chances de tirer une boule noire donnée dans la boîte qui contient le moins de boules, donc on place toutes les noires dans l'autre. Et comme 1 seule blanche suffit alors, on place les autres dans l'autre boîte"...
Pour ta démo on peut détailler quand même:
Soient les boîtes 1 et 2. Soit k le nombre de boules blanches dans la boîte 1 et x le nombre de boules noires dans cette même boîte. Le nombre de boules blanches dans la boîte 2 est donc de 500-k et celui de boules noires est de 500-x. La probabilité de tirer une boule blanche (et donc d'être libéré) est de:
P=0.5*[k/(k+x)]+0.5*[(500-k)/(500-k+500-x)]
P=0.5*[k/(k+x)+(500-k)/(1000-k-x)]
-> Pour obtenir ça il suffit d'appliquer la formule
P(A ou B) = P(A) +P(B) - P(A et B)
où A (resp B) est l'événement: "Tirer une boule blanche dans la 1ère (resp 2ème) boîte"
Le but est de trouver la valeur maximale de P. On pose Pk(x)=0.5*[k/(k+x)+(500-k)/(1000-k-x)]
-> Plutôt pour tout k dans ]0,250] (pusique les boîtes jouent un rôle symétrique):
Pk: [0,500] -> R
x -> 0.5*[k/(k+x)+(500-k)/(1000-k-x)]
et Po : ]0,500] -> R
x -> 0.5*[500/(1000-x)]
Faisons d'abord le cas particuliers de k=0:
Po(x)=0.5*[500/(1000-x)]
-> Po(x) atteint sa plus grande valeur pour x le plus grand possible. Cette valeur de x est 500. Pour x=500, Po(500)=0.5
Etudions le cas pour k appartenant à l'intervalle [1;250]:
Si on fait la dérivée de P (plutôt Pk non?) sur l'intervalle [0;500], on voit que P est décroisssante puis croissante et on remarque alors que P atteint son maximum en x=0.
-> Là par contre c'est faux, la dérivée est plutôt compliquée mais tu retombes sur tes pattes, ça admet bien un maximum en x=0 (parce qu'on a pris 0<k<=250), égal à 0.5*[1+(500-k)/(1000-k)]
Pour montrer que ça admet bien un maximum en 0 et seulement en 0 (sauf pour k=250, dans ce cas le max sera atteint plusieurs fois), il suffit en fait de calculer
Pk(0)-Pk(x): on voit assez vite que c'est positif, avec annulation seulement si x=0
EDIT: En fait pas aussi vite que ça...
Le calcul donne x*[1/(k+x)-(500-k)/(1000-k-x)(1000-k)]
Comme k varie de 0 (exclus) à 250 (inclus) et x de 0 (exclus) à 500 (inclus), on voit que:
1/(k+x) >= 1/(1000-k)
(500-k)/(1000-k-x) <= 1
Avec, dans les deux relations, égalité si et seulement si k=250 et x=500
Ainsi, on a ce qu'on voulait (Pk admet un maximum en x=0 et, sauf pour k=250, seulement en 0)
P1(0)=749/999, ce qui est approximativement égal à 0.749749 ( d'ailleurs supérieur à Po(500))
P2(0)=0.749498
P3(0)=0.749247
...
Les Pk(0) diminuent, plus k augmente.
-> Démo: c'est évident 
(il suffit de regarder l'expression du maximum, cf plus haut)
La valeur maximale de P est donc obtenue pour k=1.
Pour k appartenant à [250;500], on procède par symétrie et on trouve que P atteint sa valeur maximale pour k=499 (-> et x=500 dans ce cas).
D'où k=1 et x=0 (-> ou k=499 et x=500). La boîte 1 doit contenir 1 boule blanche et 0 boule noire. La boîte 2 a alors 499 boules blanches et 500 boules noires. Et inversement.
[ Dernière modification par Jbc le 08 jui 2007 à 03h32 ]
Qu'est-ce que tu racontes? Il n'y a pas de faute à la huitième ligne. ->"Po(x)=0.5*[500/(1000-x)]" ? 
