Article Magic : Magic expliqué par les maths

Magic expliqué par les maths

Type : Magic Technique

Catégorie : Construction d'un Deck

Posté le 01/05/2003 par Plume

"Les cartes les plus utiles doivent être en 4 exemplaires."
"Il faut au moins 24 terrains."
"Je sort mon élémental d'épine au 7eme tour sans accélérateur de mana."
"Moi je gagne tout le temps."

On a tous déjà entendu ces phrases au moins une fois dans sa vie de joueur. Mais sont-elles toutes justes et fondées? Magic étant aussi un jeu de hasard, une branche des mathématiques, les probabilités, permet de résoudre quelques uns de ces problèmes.

Salut à tous et bienvenue dans mon troisième article pour ce site. Avant de commencer, j'aimerai ajouter quelques remarques sur mes précédents articles: -pour l'histoire de tourment: Les livres ne sont pas vendus en France, ou alors en import. Pour vous les procurer achetez les sur Internet, où trouvez un copain qui va en Angleterre ou aux States et demandez lui. -Pour les fausses cartes: Ma méthode marche, il faut savoir lire, quand je précise "une bonne imprimante" c'est pas une sous marque achetée 30 euros à carrefour. Ca marche aussi avec les imprimantes Jet d'encre. Pour ceux qui veulent pas s'arracher les mains à gommer vous pouvez effacer la carte en la frottant (énergiquement) avec un mouchoir imbibé d'alcool ménager ou de white spirit. Et puis j’aimerai remercier tous ceux qui m’ont écrit un MP ou un e-mail de félicitation, de remerciement et d’encouragement. Merci les gars, sans vous j’aurai peut être pas eu la motivation d’écrire ce que vous êtes en train de lire. Bon maintenant, place à mon article: MAGIC ET LES PROBABILITES "Les cartes les plus utiles doivent être en 4 exemplaires." "Il faut au moins 24 terrains." "Je sort mon élémental d'épine au 7eme tour sans accélérateur de mana." "Moi je gagne tout le temps." On a tous déjà entendu ces phrases au moins une fois dans sa vie de joueur. Mais sont-elles toutes justes et fondées? Magic étant aussi un jeu de hasard, une branche des mathématiques, les probabilités, permet de résoudre quelques uns de ces problèmes. Note 1: Les formules utilisées font partie du programme de mathématiques de Terminale S. Si vous êtes trop jeune il est fort probable que vous n’allez rien comprendre aux calculs, mais ce n’est pas grave vous n’aurez qu’à lire les résultats. Note 2: combin(A ;B) signifie le nombre de combinaisons à A éléments d'un ensemble à B éléments. Note 3: En raison des grands nombres qui interviennent et des approximations de ma calculatrice et d’Excel, il peut y avoir de légères erreurs dans les résultats obtenus, mais rien d’énorme. I. Nombre de Terrains Combien de terrains doit-je mettre dans mon deck ? 15 ? 20 ? 25 ? Ce nombre varie selon le coût moyen de vos sorts. Un sligh aura besoin de beaucoup moins de terrains qu'un deck de bourrin avec que des créatures à 4 d'invoc minimum. X est le nombre de terrains du deck. J'ai 7 cartes dans ma main de départ et 60 cartes dans mon deck. On assimile une main de départ à une combinaison de 7 cartes parmis 60. On a donc N = combin(60 ;7) = 386 206 920 mains différentes Le nombre de combinaisons pour avoir Y terrains dans sa main de départ est toute combinaison de Y terrains sur les X du deck, et de 7-Y sorts sur les 60-X du deck, soit P = combin(X ;Y)*(60-X/7-Y) possibilités d’avoir Y terrains dans sa main de départ. La probabilité d’avoir Y terrains dans sa main de départ est donc P/N, et on multiplie par 100 pour avoir le pourcentage de chances. Par exemple, un deck de 20 terrains aura ((combin(20 ;2)*combin(40 ;5))*386206920)*100 = 32.4% de chances d’avoir 2 terrains dans sa main de départ. Résultats : (La majorité des decks ont entre 10 et 30 terrains, si vous voulez les autres résultats la méthode pour les avoir est donnée)

	0	1	2	3	4	5	6	7
10	25,8629234	41,14556	24,687336	7,15574957	1,06574994	0,07993125	0,00271875	3,1071E-05
11	22,2421141	39,8289021	27,1560696	9,0520232	1,5742649	0,14067899	0,00586162	8,5446E-05
12	19,0646693	38,1293385	29,2620505	11,08411	2,21682201	0,23132056	0,011484	0,00020507
13	16,284405	36,1434355	30,9800876	13,2085645	3,00194647	0,36023358	0,02088311	0,00044432
14	13,8590681	33,9547168	32,2983892	15,3801853	3,93446601	0,53651809	0,03576787	0,00088864
15	11,7500795	31,6348293	33,2165708	17,5534724	5,01527782	0,76978683	0,05831718	0,00166621
16	9,92228933	29,2446422	33,743818	19,6838938	6,24123462	1,06992594	0,09123399	0,00296214
17	8,3437433	26,8352825	33,8971989	21,7289737	7,60514079	1,44683166	0,13779349	0,00503564
18	6,9854595	24,4491083	33,7001222	23,6492086	9,09584945	1,91012838	0,20188349	0,00824014
19	5,82121625	22,1206218	33,1809326	25,4088223	10,6984515	2,46887342	0,28803523	0,01304689
20	4,82735006	19,8773238	32,3716416	26,976368	12,3945475	3,1312541	0,40144283	0,02007214
21	3,9825638	17,7405115	31,306785	28,3251864	14,1625932	3,90428245	0,54796947	0,03010821
22	3,26774466	15,7260212	30,0224041	29,4337295	15,9783103	4,79349308	0,73413858	0,04415871
23	2,6657917	13,8449182	28,5551437	30,2857585	17,815152	5,80264952	0,96710825	0,06347815
24	2,16145273	12,1041353	26,9414624	30,8704256	19,6448163	6,93346458	1,25462692	0,08961621
25	1,74117025	10,5070619	25,2169485	31,1822481	21,4377956	8,18534013	1,60496865	0,12446696
26	1,3929362	9,05408531	23,4157379	31,2209838	23,1639557	9,55513174	2,02684613	0,1703232
27	1,10615522	7,74308653	21,5700268	30,9914178	24,7931342	11,0369436	2,52929958	0,22993633
28	0,87151623	6,5698916	19,7096748	30,5030681	26,2957484	12,6219592	3,12155981	0,30658177
29	0,68087206	5,5286811	17,8618928	29,7698213	27,6434055	14,2983132	3,81288352	0,40413051
30	0,52712675	4,61235909	16,0510097	28,8095045	28,8095045	16,0510097	4,61235909	0,52712675

Ce tableau représente le pourcentage de terrains dans la main de départ en fonction du nombre de terrains dans le jeu. Par exemple avec un deck de 24 terrains j’ai 30% de chances d’avoir 3 terrains dans ma main de départ. Et pour ceux qui espèrent sortir leur élémental d’épines au tour 7, si on prend par exemple un deck de 20 terrains, si j’ai 2 terrains dans ma main de départ (résultat le plus probable d’après calcul précédent), calculons la probabilité que j’ai 7 terrains en jeu au bout de 7 tours : J’ai 2 terrains dans ma main, il en reste 18 dans les 53 cartes du deck, et 35 sorts sur les 40 du début (car j’en ai pioché 7-2 = 5 dans ma main de départ). Donc la probabilité que je pioche 5 autres terrains pendant mes 7 premiers tours est : P = (18*17*16*15*14*35*34)/(53*52*51*50*49*48*47) = 1.574E-3 Donc j’ai 0.15 % de chances de sortir mon élémental d’épines au tour 7 sachant que j’ai 2 terrains dans ma main de départ, et sans accélérateurs de mana. Avouez que c’est un peu faible, alors si vous voulez jouer du gros monstre, pensez aux petits elfes ! Pour finir cette partie, parlons des gens qui disent « moi je gagne tout le temps », admettons qu’ils jouent un deck de 24 terrains (nombre de terrains dans un Psychatog), ils ont 2.16% de chances de commencer sans terrain, et 100*(29*28*27*26*25)/(53*52*51*50*49) = 4.13 % de chances que leur mana death dure pendant les 5 premiers tours du jeu. Avouez qu’un deck qui ne pose aucun terrain pendant les 5 premiers tour du jeu se fait facilement exploser par un deck agressif, par exemple RG beatdown ou UG madness. II. Les combos et les sorts Si mon deck tourne sur la combo nid d’écureuil habilité chtonienne, quelles sont mes chances d’avoir ces deux cartes dans ma main pendant les 3 premiers tours et ainsi poser la légendaire combo tokens infinis? Admettons que j’ai 4 exemplaire de chaque carte de la combo dans mon deck. Pour jouer la combo dans les 3 premiers tours, on suppose que ma main de départ fait 10 cartes (7 cartes + 3 que je pioche dans les premiers tours). Il faut donc que j’ai pioché 1 nid d’écureuil, 1 habilité chtonienne et 3 terrains (on suppose que le deck est monocolore). J’ai 24 terrains. Il y a combin(60 ;10) = 7.5394E10 mains possibles. Et combin(4 ;1)*combin(4 ;1)*combin(24 ;3)*combin(28 ;6) = 1.2200E10 mains possibles qui permettent la combo. Donc j’aurais (1.2200E10/7.5394E10)*100 = 16% de chances de faire mes 40 milliards de jetons au tour 4. C’est faible, donc quand on vous dit d’utiliser des piocheurs ou des précepteurs c’est pas des conneries. Bon aussi j’ai pas compté les fois où t’as plus que 3 terrains dans ta main, mais avec 24 terrains, en avoir 3 en main c’est la probabilité maximale. On parle souvent la combo black lotus + channel + boule de feu, admettons que j’ai 24 montagnes dans mon deck, et calculons le pourcentage de chances que j’ai de sortir la combo au premier tour : Black lotus et channel sont restreints donc on en a qu’un seul exemplaire de chaque, on a 4 boules de feu et 24 montagnes. On a ((combin(1 ;1)*combin(1 ;1)*combin(4 ;1)*combin(24 ;1)*combin(30 ;3))/386206920)*100 = 0.1% de chances de sortir la combo. C’est vraiment vraiment très faible… Remarquez, même si on met 4 blacks lotus et 4 channel on n’a que 1.6%. Là encore j’ai omit les cas où tu pioches + qu’un terrain, mais bon on aura jamais une probabilité très grande de sortir la combo…. Et admettons que l’adversaire joue bleu, et qu’il a dans son deck 4 forces de volonté et 4 erreur de visée, il y a 65% (cf. tableau ci dessous) de chances pour qu’il arrive à avoir un contre à zéro dans sa main et qu’il soit annule la boule de feu (vous vous retrouvez à 1 pv) soit renvoie la boule à l’envoyeur (vous perdez la partie). Enfin un petit tableau, pour vous dire le pourcentage de chances que vous ayez des cartes dans votre main de départ, en fonction du nombre de ces cartes que vous avez dans le deck. (on utilise la même formule que pour calculer le nombre de terrains)

	0	1	2	3	4	5	6	7
0	100	0	0	0	0	0	0	0
1	88,3333333	11,6666667	0	0	0	0	0	0
2	77,8531073	20,960452	1,18644068	0	0	0	0	0
3	68,4570427	28,188194	3,25248393	0,10227937	0	0	0	0
4	60,0500374	33,628021	5,93435664	0,38040748	0,0071775	0	0	0
5	52,5437827	37,5312734	9,00750561	0,88308879	0,03396495	0,00038451	0	0
6	45,8563922	40,1243432	12,2829622	1,63772829	0,09633696	0,00222316	1,3982E-05	0
7	39,9120451	41,61043	15,6039112	2,6537264	0,21229811	0,00749287	9,6062E-05	2,5893E-07
8	34,6406429	42,1712174	18,8424589	3,92551226	0,40056248	0,019227	0,000377	2,0714E-06
9	29,9774794	41,9684712	21,8965937	5,43532467	0,67941558	0,04159687	0,00110925	9,3214E-06
10	25,8629234	41,14556	24,687336	7,15574957	1,06574994	0,07993125	0,00271875	3,1071E-05
11	22,2421141	39,8289021	27,1560696	9,0520232	1,5742649	0,14067899	0,00586162	8,5446E-05
12	19,0646693	38,1293385	29,2620505	11,08411	2,21682201	0,23132056	0,011484	0,00020507
13	16,284405	36,1434355	30,9800876	13,2085645	3,00194647	0,36023358	0,02088311	0,00044432
14	13,8590681	33,9547168	32,2983892	15,3801853	3,93446601	0,53651809	0,03576787	0,00088864
15	11,7500795	31,6348293	33,2165708	17,5534724	5,01527782	0,76978683	0,05831718	0,00166621
16	9,92228933	29,2446422	33,743818	19,6838938	6,24123462	1,06992594	0,09123399	0,00296214
17	8,3437433	26,8352825	33,8971989	21,7289737	7,60514079	1,44683166	0,13779349	0,00503564
18	6,9854595	24,4491083	33,7001222	23,6492086	9,09584945	1,91012838	0,20188349	0,00824014
19	5,82121625	22,1206218	33,1809326	25,4088223	10,6984515	2,46887342	0,28803523	0,01304689
20	4,82735006	19,8773238	32,3716416	26,976368	12,3945475	3,1312541	0,40144283	0,02007214
21	3,9825638	17,7405115	31,306785	28,3251864	14,1625932	3,90428245	0,54796947	0,03010821
22	3,26774466	15,7260212	30,0224041	29,4337295	15,9783103	4,79349308	0,73413858	0,04415871
23	2,6657917	13,8449182	28,5551437	30,2857585	17,815152	5,80264952	0,96710825	0,06347815
24	2,16145273	12,1041353	26,9414624	30,8704256	19,6448163	6,93346458	1,25462692	0,08961621
25	1,74117025	10,5070619	25,2169485	31,1822481	21,4377956	8,18534013	1,60496865	0,12446696
26	1,3929362	9,05408531	23,4157379	31,2209838	23,1639557	9,55513174	2,02684613	0,1703232
27	1,10615522	7,74308653	21,5700268	30,9914178	24,7931342	11,0369436	2,52929958	0,22993633
28	0,87151623	6,5698916	19,7096748	30,5030681	26,2957484	12,6219592	3,12155981	0,30658177
29	0,68087206	5,5286811	17,8618928	29,7698213	27,6434055	14,2983132	3,81288352	0,40413051
30	0,52712675	4,61235909	16,0510097	28,8095045	28,8095045	16,0510097	4,61235909	0,52712675
31	0,40413051	3,81288352	14,2983132	27,6434055	29,7698213	17,8618928	5,5286811	0,68087206
32	0,30658177	3,12155981	12,6219592	26,2957484	30,5030681	19,7096748	6,5698916	0,87151623
33	0,22993633	2,52929958	11,0369436	24,7931342	30,9914178	21,5700268	7,74308653	1,10615522
34	0,1703232	2,02684613	9,55513174	23,1639557	31,2209838	23,4157379	9,05408531	1,3929362
35	0,12446696	1,60496865	8,18534013	21,4377956	31,1822481	25,2169485	10,5070619	1,74117025
36	0,08961621	1,25462692	6,93346458	19,6448163	30,8704256	26,9414624	12,1041353	2,16145273
37	0,06347815	0,96710825	5,80264952	17,815152	30,2857585	28,5551437	13,8449182	2,6657917
38	0,04415871	0,73413858	4,79349308	15,9783103	29,4337295	30,0224041	15,7260212	3,26774466
39	0,03010821	0,54796947	3,90428245	14,1625932	28,3251864	31,306785	17,7405115	3,9825638
40	0,02007214	0,40144283	3,1312541	12,3945475	26,976368	32,3716416	19,8773238	4,82735006
41	0,01304689	0,28803523	2,46887342	10,6984515	25,4088223	33,1809326	22,1206218	5,82121625
42	0,00824014	0,20188349	1,91012838	9,09584945	23,6492086	33,7001222	24,4491083	6,9854595
43	0,00503564	0,13779349	1,44683166	7,60514079	21,7289737	33,8971989	26,8352825	8,3437433
44	0,00296214	0,09123399	1,06992594	6,24123462	19,6838938	33,743818	29,2446422	9,92228933
45	0,00166621	0,05831718	0,76978683	5,01527782	17,5534724	33,2165708	31,6348293	11,7500795
46	0,00088864	0,03576787	0,53651809	3,93446601	15,3801853	32,2983892	33,9547168	13,8590681
47	0,00044432	0,02088311	0,36023358	3,00194647	13,2085645	30,9800876	36,1434355	16,284405
48	0,00020507	0,011484	0,23132056	2,21682201	11,08411	29,2620505	38,1293385	19,0646693
49	8,5446E-05	0,00586162	0,14067899	1,5742649	9,0520232	27,1560696	39,8289021	22,2421141
50	3,1071E-05	0,00271875	0,07993125	1,06574994	7,15574957	24,687336	41,14556	25,8629234
51	9,3214E-06	0,00110925	0,04159687	0,67941558	5,43532467	21,8965937	41,9684712	29,9774794
52	2,0714E-06	0,000377	0,019227	0,40056248	3,92551226	18,8424589	42,1712174	34,6406429
53	2,5893E-07	9,6062E-05	0,00749287	0,21229811	2,6537264	15,6039112	41,61043	39,9120451
54	0	1,3982E-05	0,00222316	0,09633696	1,63772829	12,2829622	40,1243432	45,8563922
55	0	0	0,00038451	0,03396495	0,88308879	9,00750561	37,5312734	52,5437827
56	0	0	0	0,0071775	0,38040748	5,93435664	33,628021	60,0500374
57	0	0	0	0	0,10227937	3,25248393	28,188194	68,4570427
58	0	0	0	0	0	1,18644068	20,960452	77,8531073
59	0	0	0	0	0	0	11,6666667	88,3333333
60	0	0	0	0	0	0	0	100

Bon finalement c’est peut être pas un petit tableau… Pour ceux qui ne voient pas comment utiliser ce tableau, je vais vous donner quelques exemples : J’ai 4 elfes de llanowar et 4 oiseaux de paradis, ce qui me fait 8 producteurs de mana, en plus de mes 20 terrains ça me fait 28 cartes qui me donnent du mana. Je regarde à la ligne 28 et je voit que par exemple j’ai 19% de chances d’avoir exactement 2 producteurs de mana dans ma main de départ J’ai 4 bâtards sauvages, je regarde à la ligne 4 et je voit que j’ai 33% de chances d’en avoir un seul dans ma main de départ. J’ai 14 créatures qui coûtent 1 à jouer dans mon deck, donc j’aurai 33+32+15 = 80% de chances d’en avoir entre une et trois dans ma main de départ. J’ai une carte en un seul exemplaire dans ma main, j’ai 88% de chances de ne pas la piocher au début. J’ai 4 contraintes et 4 thérapies de la coterie, donc j’ai 42+19+4 = 65% de chances de regarder la main de mon adversaire en début de partie. III. Application pratique Et tous ces calculs ils servent à quoi ? Prenons l’exemple du deck le plus optimisé de l’histoire, le sligh. Voici la version de Patrick Mello, qui a gagné le GP de Reims : 4 bébé chacal R 4 larbin gobelin R 4 pelleteur gobelin 1R 4 mogg fanatique R 4 mogg bas de plafond 1R 4 gobelin enragé R 1 cadet gobelin R 3 dard de lave R 4 pure inconscience R 4 charge téméraire R 2 sceau de feu R 4 choc R 4 cercle des barbares 18 montagnes Pratiquement tous ses sorts coûtent un seul mana, avec deux terrains il peut jouer tout le deck. Or comme il a 22 terrains dans le deck, il a plus de 80% de chances d’avoir au moins les deux terrains nécessaires pour gagner. Si on considère qu’il joue quand même si il n’a qu’un seul terrains, cela lui fait 95% de mains de départ jouables, et seulement 5% de mulligan ! Le sligh n’utilise jamais ses dégâts directs dès le premier tour, il attend que l’adversaire pose une créature pour le faire. Avec 17 créatures jouables dès le premier tour, il a ((combin(17 ;1)*combin(43 ;6)/ 386206920)*100 = 26% de chance d’avoir une créature à un mana dans sa main de départ, 33% d’en avoir deux dans sa main de départ, 21% d’en avoir trois dans sa main de départ. Si on rajoute les créatures qui coûtent deux à jouer on obtient : 10% d’avoir une créature en main au départ, 25% d’en avoir deux, 31% d’en avoir trois, 21% d’en avoir quatre, et seulement 1.7% de chances de n’avoir aucune créature dans la main de départ ! Comme toutes ses créatures sont jouables dès le second tour, je vous laisse imaginer la régularité de la chose. Après le deck du champion, voyons un autre deck, le deck « Aïe ça fait mal » posté par poupou sur magiccorp : 3 couronne de vigueur 1G 4 croissance explosive G 2 gourne fulminante 3GG 4 guerrier elfe GG 4 mammouth de guerre 3G 4 médecine populaire 1G 4 naturalisation 1G 4 ours tigrés 3G 3 phacochère géant 5G 4 kavru caméléon 3GG 4 vent de travers 1G 4 élémental d’épines 5GG 4 sylvain de boisrouge 4G 20 forêts en tout 68 cartes. Coût moyen des sorts : C = (3*2+4*1+2*5+4*2+4*4+4*2+4*2+4*4+3*6+4*5+4*2+4*7+4*5)/48 = 3.58 Comme son deck ne fait pas 60 cartes, je refait les pourcentages de chances pour les terrains : Chances d’avoir 1 terrain dans la main de départ : 25% 2 terrains : 33% 3 terrains : 22% 4 terrains : 8% 5 terrains : 2% 6 terrains : 0.2% zéro terrain : 7% (si vous additionnez on arrive pas à 100 parce que j’ai arrondi) Là on voit tout de suite qu’il y a un malaise. Ses pourcentages sont proches de ceux du sligh, alors que le coût moyen de ses sorts est pratiquement 4 fois celui du deck précédent ! Avec un coût moyen comme celui là, il lui faut impérativement 4 terrains au 4eme tour, voire 5 au cinquième tour si il veut survivre. Or son pourcentage maximum de terrains au départ est pour deux terrains, donc la probabilité pour qu’il pioche deux terrains pendant ses 4 premiers tours est P = (18*17*48*47)/(61*60*59*58) = 0.05, soit seulement 5% de chances que cela arrive, et seulement 1.54% de chances pour qu’il ait ses 5 terrains au cinquième tour sachant qu’il a deux terrains dans sa main de départ… On le voit donc, Poupou doit avoir de sérieux problèmes de mana. Je ne suis pas là pour le conseiller dans son deck, mais est évident qu’une bonne partie du deck est à revoir. Voilà nous arrivons à la fin de l’article, j’espère que ça vous aidera à construire vos decks, mais n’oubliez pas, les formules mathématiques ne font pas tout, et un deck construit uniquement à partir d’équations ne marchera pas forcément, il faut toujours faire des parties test, retirer les carte inutiles, les remplacer par de meilleures, etc…. Au fait c’est pas la peine de m’envoyer des decks à analyser, je n’ai ni le temps ni l’envie de le faire. De toute façon avec ce qu’il a dans cet article vous êtes en mesure de le faire vous même. Et je n’expliquerai pas non plus les formules utilisées, car ça prend déjà plusieurs heures de les apprendre au lycée et j’ai vraiment pas envie de devoir faire des cours à des élèves de cinquième qui ne savent même pas ce que c’est qu’un cosinus. Si vous tenez vraiment à savoir, allez voir à la bibliothèque de votre ville, au rayon maths et sciences, on y trouve de supers bouquins. Et merci à Koub et à Kostik du forum de Yavipengs qui m’ont aidé à corriger quelques erreurs de calcul, ainsi qu’à Amon-ra de magiccorporation qui m’a aidé à faire rentrer les tableaux dans l’article, et à ma Jennyfer que j’aime et que j’embrasse. (Et a reivon pour avoir corriger le bug des tableaux

Vous n'êtes pas connecté ! connectez-vous ou inscrivez-vous pour poster un commentaire